Podstawowe działania na dystrybucjach

Definicja 1: sumy dystrybucji.

Sumę dystrybucji \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) określamy następująco

\( \langle L+T,\, \varphi\rangle \,=\,\langle L, \,\varphi\rangle + \langle T,\, \varphi\rangle,\hskip 1pc \varphi\in D(\Omega). \)

Definicja 2: iloczynu dystrybucji przez liczbę.

Iloczyn dystrybucji \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) przez liczbę \( \hskip 0.3pc \alpha\hskip 0.3pc \)określamy wzorem

\( \langle \alpha T,\, \varphi\rangle \,=\, \alpha\langle T,\, \varphi\rangle,\hskip 1pc \varphi\in D(\Omega) . \)

Jezeli dystrybucja jest regularna, to definicje te pokrywają się ze zwykłymi definicjami sumy funkcji i iloczynu funkcji przez liczbę. Nietrudno sprawdzić, że przy tak określonych działaniach, przestrzeń dystrybucji jest przestrzenią liniową.
Z zasady przy określaniu działań na dystrybucjach żąda się, aby w przypadku dystrybucji regularnych, pokrywały się one z odpowiednimi działaniami na funkcjach.
Kolejną powszechnie używaną operacją na funkcjach jest mnożenie funkcji przez funkcje. Niestety, operacji takiej nie możemy określić dla dowolnych dystrybucji. Wyjaśnia to poniższy przykład.

Przykład 1:

Rozważmy funkcje \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \bar{\mathbb R} \hskip 0.3pc \) daną wzorem \( \hskip 0.3pc f(x) =1/\sqrt{|x|}\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x\neq 0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.1pc f(0)=+\infty\hskip 0.3pc \).

Oczywiście funkcja ta określa dystrybucje regularną

\( \langle f, \varphi\rangle =\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\tfrac{\varphi (x)}{\sqrt{|x|}}dx. \)

Natomiast wyrażenie

\( \langle f^2, \varphi\rangle =\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\tfrac{\varphi (x)}{|x|}dx. \)

nie jest dystrybucją. Istotnie, jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi (0)\neq 0\hskip 0.3pc \), całka po prawej stronie ostatniego wzoru nie jest zbieżna. Oznacza to, że funkcji \( \hskip 0.3pc f^2\hskip 0.3pc \) nie odpowiada dystrybucja. Oczywiście funkcja \( \hskip 0.3pc f^2\hskip 0.3pc \) nie jest lokalnie całkowalna na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \).

Możemy natomiast określić iloczyn dystrybucji w przypadkach szczególnych. Na przykład, jeśli \( \hskip 0.3pc f,g:\Omega \to\mathbb R\hskip 0.3pc \) są funkcjami lokalnie całkowalnymi i ich iloczyn \( \hskip 0.3pc fg\hskip 0.3pc \) jest też funkcją lokalnie całkowalną, to określa on dystrybucje

\( \langle fg, \varphi\rangle =\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g(x)\varphi (x)dx. \)

Zauważmy, że jeśli \( \hskip 0.3pc \alpha \hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty,}\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc \alpha \varphi \in D(\Omega )\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega ).\hskip 0.3pc \) Ponadto, jeśli ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc D(\Omega ),\hskip 0.3pc \) to również ciąg \( \hskip 0.3pc \{\alpha \varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do \( \hskip 0.3pc \alpha \varphi\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc D(\Omega ).\hskip 0.3pc \) Zatem jeśli \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją lokalnie całkowalną na \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) to z tożsamości

\( \displaystyle\int_{\mathbb R}\big(f(x)\,\alpha (x)\big)\varphi (x) dx= \displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\big(\alpha (x)\varphi (x)\big) dx, \)

wynika, że iloczyn dystrybucji regularnej \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) przez funkcje \( \hskip 0.3pc \alpha\hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) można zdefiniować wzorem

\( \langle \alpha f, \varphi \rangle \,=\, \langle f, \alpha\varphi \rangle\qquad {\rm dla~ dowolnego}\quad \varphi \in D(\mathbb R). \)

Oczywiście wzór ten można rozszerzyć na dowolną dystrybucje \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \) przyjmując

(1)

\( \langle \alpha T, \varphi \rangle \,=\, \langle T, \alpha\varphi \rangle \qquad {\rm dla~ dowolnego}\quad \varphi \in D(\Omega ). \)

Definicja 3: translacji dystrybucji.

Niech \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc x_0 \in \mathbb R^n. \hskip 0.3pc \) Translację dystrybucji \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) o wektor \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc T_{x_0}\hskip 0.3pc \) i określamy wzorem

(2)

\( \langle T_{x_0} ,\varphi (x)\rangle =\langle T_ ,\varphi (x+x_0)\rangle,\qquad\varphi \in D(\mathbb R^n ). \)

Należy odnotować, że zapis ten koliduje z oznaczeniem \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) dystrybucji generowanej przez funkcje \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \) Ponieważ jednak z kontekstu będzie zawsze jasno wynikać o jakie oznaczenie chodzi, pozostawimy tę niezgodność notacyjną.

Przykładem translacji dystrybucji jest zdefiniowana poprzednio dystrybucja \( \hskip 0.3pc \delta_{x_0}.\hskip 0.3pc \)
Istotnie

\( \langle \delta_{x_0},\varphi (x)\rangle = \varphi (x_0) = \langle \delta,\varphi (x+x_0)\rangle, \qquad\varphi \in D(\mathbb R^n ). \)

Definicja 4: transpozycji dystrybucji.

Transpozycję dystrybucji \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc T^{-}\hskip 0.3pc \) i określamy wzorem

(3)

\( \langle T^-, \varphi (x)\rangle =\langle T, \varphi (-x)\rangle, \qquad\varphi \in D(\mathbb R^n ). \)

Podobnie, dla \( \hskip 0.3pc \alpha >0\hskip 0.3pc \) symbolem \( \hskip 0.3pc T^{\alpha} \hskip 0.3pc \) oznaczać będziemy dystrybucje określoną wzorem

(4)

\( \langle T^{\alpha} , \varphi (x)\rangle =\big{\langle} T, \tfrac 1{\alpha ^n}\varphi \big(\tfrac x{\alpha }\big)\big{\rangle}, \qquad\varphi \in D(\mathbb R^n ). \)

Zauważmy, że definicje te są całkiem naturalne. Jeśli bowiem \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowaną przez funkcje lokalnie całkowalną \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R^n\to \mathbb R,\hskip 0.3pc \) to

\( \langle T_{x_0} ,\varphi (x)\rangle =\langle T_ ,\varphi (x+x_0)\rangle =\displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(x)\,\varphi (x+x_0)dx= \displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(x-x_0)\,\varphi (x)dx, \)

czyli \( \hskip 0.3pc T_{x_0}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \( \hskip 0.3pc f(x-x_0).\hskip 0.3pc \)
Analogicznie

\( \langle T^- ,\varphi (x)\rangle =\langle T,\varphi (-x)\rangle =\displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(x)\,\varphi (-x)dx= \displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(-x)\,\varphi (x)dx, \)

czyli \( \hskip 0.3pc T^{-}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \( \hskip 0.3pc f(-x).\hskip 0.3pc \)

Podobnie

\( \langle T^{\alpha} ,\varphi (x)\rangle =\Big{\langle} T,\dfrac 1{\alpha ^n}\varphi \big(\dfrac x{\alpha }\big)\Big{\rangle}= \dfrac 1{\alpha ^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(x)\,\varphi \big(\dfrac x{\alpha }\big) dx= \displaystyle\int_{\mathbb R^n}f(\alpha x)\,\varphi (x)dx, \)

czyli \( \hskip 0.3pc T^{\alpha }\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \( \hskip 0.3pc f(\alpha x).\hskip 0.3pc \)

Dystrybucje \( \hskip 0.3pc T\in D^*( \mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) nazywamy

\( \lambda\hskip 0.3pc \)- jednorodną, jeśli \( \hskip 0.3pc T^t =t^{\lambda}T\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \);

parzystą, jeśli \( \hskip 0.3pc T^- = T\hskip 0.3pc \);

nieparzystą, jeśli \( \hskip 0.3pc T^- = -T\hskip 0.3pc \) ;

okresową , jeśli \( \hskip 0.3pc T_a= T\hskip 0.3pc \) dla pewnego \( \hskip 0.3pc a\in\mathbb R^n.\hskip 0.3pc \) Element \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) nazywamy okresem dystrybucji.

Aby móc wygodnie przeprowadzać rachunki, często wprowadza się formalnie zapis \( \hskip 0.3pc T(x).\hskip 0.3pc \) Oczywiście \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) oznacza argument funkcji próbnej, na której działa dystrybucja \( \hskip 0.3pc T.\hskip 0.3pc \) W tej konwencji dystrybycje \( \hskip 0.3pc T_{x_0},\hskip0.3pc \) \( T^-\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc T^{\alpha},\hskip0.3pc \) przyjmują postać \( \hskip 0.3pc T(x-x_0)\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc T(-x)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc T(\alpha x)\hskip 0.3pc \). W szczególności dystybucja \( \hskip 0.3pc \delta _{x_0}\hskip 0.3pc \) ma postać \( \hskip 0.3pc \delta (x-x_0)\hskip 0.3pc \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka